Formule pour la somme \(\sum_{k=1}^{n} k \times x^{k-1} = 1 + 2x +3x^2 + ... + nx^{n-1}\)

On considère un entier naturel \(n\) non nul et, pour tout réel \(x\); la somme :
\(S_n(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n\)
On peut aussi écrire :
\(S_n(x) = \frac{x^{n+1} - 1}{x-1} = \frac{1 - x^{n+1}}{1-x}\) ( simplification par -1).

Avec ces deux expressions de \(S_n(x)\), on détermine deux expressions de la dérivée \(S'_n(x)\).

D'une part on a :
\(S_n(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n\)
\(S_n\) est alors exprimée à l'aide d'une somme de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\), donc \(S_n(x)\) est dérivable sur \(\mathbb{R} \backslash \{1\}\).
\(\forall \ x \in \mathbb{R} \backslash \{1\}, S'_n(x) = 0+1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}\)
\(S'_n(x) = \sum_{k=1}^n k \times n^{k-1}\)
D'autre part :
\(S_n(x) = \frac{x^{n+1} - 1}{n-1}\)

On pose \(u(x) = x^{n+1}-1\) et \(v(x)=x-1\).
\(u\) est la somme de deux fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\), donc \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
\(\forall \ x \in \mathbb{R}, u'(x) = (n+1) \times x^n\)
\(v\) est une fonction affine dérivable sur \(\mathbb{R}\), donc \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
\(\forall \ x \in \mathbb{R}, v'(x) = 1\)
\(v(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Donc \(v\) ne s'annule pas sur \(\mathbb{R} \backslash \{1\}\).

Or \(S_n = \frac{u}{v}\), donc \(S_n\) est dérivable sur \(\mathbb{R} \backslash \{1\}\).
\(\forall \ x \in \mathbb{R} \backslash \{1\}, S'_n(x) = \frac{u'(x) \times v(x) - v'(x) \times u(x)}{[v(x)]^2}\)
\(S'_n(x) = \frac{(n+1) \times x^n \times (x-1) - 1 \times (x^{n+1} - 1)}{(n-1)^2}\)
\(S'_n(x) = \frac{(n+1)(n-1) \times x^n - x \times x^n + 1}{x^2-2x+1}\)
\(S'_n(x) = \frac{x^n \times ((x+1)(x-1) - x) + 1}{x^2-2x+1}\)
\(S'_n(x) = \frac{x^n \times (nx - n - 1) + 1}{n^2-2x+1}\)

On peut écrire :
\(\sum_{k=1}^{n} k \times x^{k-1} = \frac{x^n \times (nx - n - 1) + 1}{n^2-2x+1}\)
\(1 + 2x + 3x^2 + ... + nx^{n-1} = \frac{x^n \times (nx - n - 1) + 1}{n^2-2x+1}\)

Cette formule ne peut pas s'appliquer pour \(x=1\), ce qui correspond à la somme des \(n\) premiers nombres entiers naturels qui vaut \(\frac{n \times (n+1)}{2}\).

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